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\setcounter{tocdepth}{0}

\begin{document}

\title{Zentraler Grenzwertsatz}
\author{Rafael Deliano}
\maketitle

Er dient gerne als Rechtfertigung für die Annahme, dass natürliche Rauschsignale Gaußverteilung haben. Es ergeben sich aber auch Anwendungen.

\begin{multicols}{2}

\section{Normalverteilte Zufallszahlen}

Die Plots für die Verteilung wurden hier über 10k Samples gemacht und die Werte 0--65535 jeweils auf 255 „Eimer“ („bins“) skaliert (Bild 1--5). 

\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\columnwidth]{2007-02/Grenzwertsatz-Bild1}\\
\label{GrenzwertsatzBild1}Bild 1: Gleichverteilung LCG
\end{center}

Gängige Generatoren liefern Gleichverteilung (Bild 1). Benötigt wird aber für viele Anwendungen Gauß. In [1] wurde als Generator ein LFSR verwendet und die Umwandlung durch ROM durchgeführt. Das ist wegen Speicherverbrauch für Rechnersimulation unpraktikabel. Hier sind auch LCGs [2] (Listing 1) 
geeigneter, weil qualitativ meist besser als LFSRs. 

Der zentrale Grenzwertsatz („central limit theorem“) beschreibt die 
Änderung der Verteilung, wenn man den Mittelwert aus mehreren Zufallszahlen bildet. Bei Gleichverteilung ergibt sich mit 2 Samples ein Dreieck, bei 3 Samples bereits zunehmend Gaußform (Bild 2). 
Als Analogie gäbe es die wiederholte Faltung eines Rechtecksignals mit sich selbst. \medskip

\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\columnwidth]{2007-02/Grenzwertsatz-Bild2}\\
\label{GrenzwertsatzBild2}Bild 2: Veränderung der Verteilung
\end{center}

Als ausreichend für Simulation  wird meist der Mittelwert aus 12 Samples angenommen (Bild 5, Listing 2). Man hat zwar nun die gewünschte Verteilung, aber die Samples reichen nicht mehr von 0001--FFFF.  Abhängig davon, wieviel man mittelt, verändert man nicht nur Form, sondern senkt auch den Pegel. 


\begin{center}
\listinginput[1]{1}{2007-02/Grenzwertsatz-Listing1.fs}
\label{GrenzwertsatzListing1}Listing 1: LCG--Generator
\listinginput[1]{5}{2007-02/Grenzwertsatz-Listing2.fs}
\label{GrenzwertsatzListing2}Listing 2: Umwandlung auf Gauß
\vfill
\includegraphics[width=0.8\columnwidth]{2007-02/Grenzwertsatz-Bild3}\\
\label{GrenzwertsatzBild3}Bild 3: Mittelung 2 Samples\\
\includegraphics[width=0.8\columnwidth]{2007-02/Grenzwertsatz-Bild4}\\
\label{GrenzwertsatzBild4}Bild 4: Mittelung 3 Samples\\
\includegraphics[width=0.8\columnwidth]{2007-02/Grenzwertsatz-Bild5}\\
\label{GrenzwertsatzBild5}Bild 5: Mittelung 12 Samples
\vfill
\end{center}


\section{Magic Number}

Die Form der Gaußkurven (Bild 6) wird durch die Standardabweichung s ( „sigma“ ) bzw.\ davon abgeleitet der Varianz $s^2$ beschrieben.  Die Fläche unter der Kurve beträgt nominell immer 1,0. Die gängigste Ausführung hat $s^2=s=1$.

\begin{center}
\includegraphics{2007-02/Grenzwertsatz-Bild6}\\
\label{GrenzwertsatzBild6}Bild 6: Gaußkurven mit unterschiedlicher Standardabweichung
\end{center}

Für das gleichverteilte Signal in Bild 7 gilt $s^2=1/12$ und die Varianz steigt linear mit der Zahl der gemittelten Rauschquellen. Die magische Zahl 12 ergibt also nominell die übliche Gaußkurve $s^2=s=1$ (Bild 5).

\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\columnwidth]{2007-02/Grenzwertsatz-Bild7}\\
\label{GrenzwertsatzBild7}Bild 7: Varianz bei Generatoren mit Gleichverteilung
\end{center}


Das Rauschen hat hier aber noch DC-Offset: nächster Schritt ist die Umwandlung auf ein Signal mit Vorzeichen durch Subtraktion von 8000h. 

Die Periode ist natürlich um $1/12$ kürzer als die des verwendeten LCGs. Man kann aber 12 verschiedene LCGs parallel zu betreiben, was auch der Qualität förderlich sein dürfte.

\section{Analog}

Hier hat das Ausgangssignal bereits Gaußverteilung.  Wesentlich ist, dass der Rauschpegel sinkt, wenn man Mittelwert aus mehreren Quellen bildet. Z.B. für rauschärmere Referenzspannungsquellen [3] (Bild 8) oder Verstärker [4] (Bild 9).
Wobei hier die Eingangstransistoren durch direkte Verbindung an den Pins für Offsetabgleich parallelgeschaltet wurden. Die konventionellere Lösung ist große diskrete Transistoren vor einen einzelnen OP zu schalten. 	

Parallelschaltung von 4 Kanälen halbiert das Rauschen nominell
$$
e_\mathrm{out}=e_\mathrm{in}\frac{1}{\sqrt{n}}\mathrm{,}
$$
aber die Formel zeigt auch, dass eine weitere Erhöhung nur noch sehr wenig bringt.

\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\columnwidth]{2007-02/Grenzwertsatz-Bild8}\\
\label{GrenzwertsatzBild8}Bild 8: Referenzspannung
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[width=0.4\columnwidth]{2007-02/Grenzwertsatz-Bild9}\\
\label{GrenzwertsatzBild9}Bild 9: Verstärker
\end{center}


\section{Bonmot}

„Everybody believes in it, the experimenters because they think it is a mathematical theorem, the mathematicians because they think it is an experimental fact.“

Die Formeln sollen keine mathematische Exaktheit vortäuschen. Physikalisches Rauschen gehorcht ungern mathematischer Theorie und das Ringen der Mathematiker mit dem Grenzwertsatz dauert schon seit Jahrhunderten~[5].
\end{multicols}

\section{Literatur}
\begin{tabular}{ll}
{[1]}& emb (11) Rauschgeneratoren\\
{[2]}& emb (4) Linear kongruente Zufallszahlengeneratoren\\
{[3]}& Stitt „Paralleled References Cut Noise“ EDN 8.3.1984\\
{[4]}& Gerstenhaber, Murphy „Stacking Amplifiers Cuts Input Noise“ Electronic Design 5.12.1991\\
{[5]}& Adams „The Life and Times of the Central Limit Theorem“ Kaedmon Publishing 1974
\end{tabular}
\end{document}
