<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\section{Eine ganz andere LÃ¶sung fÃ¼r das Problem Euler 9}

Ihr mÃ¼sst wissen, auf dem College besuchte ich den Mathematik--Hauptunterricht. Mathe interessierte mich immer schon. Und von dem einen der wenigen Mathematiker hier in der SVFIG (Silicon Valley Forth Interest Group) erhielt ich einen Tip fÃ¼r zwei BÃ¼cher von Roger B. Nelsen \emph{Proof Without Words}, einem Professor am Lewis \&amp; Clark College, der die BÃ¼cher so um 1993 geschrieben hat --- sie sind noch immer im Handel (Amazon). Es ist eine Sammlung verschiedener grafischer und optischer Beweise, von unterschiedlichsten, teil historischen, aber auch modernen Autoren wie Euklid, Dudeney, und natÃ¼rlich Nelsen selbst. Ich hatte das Buch fast schon vergessen, und war nun glÃ¼cklich, auf der Seite 141 des ersten Bandes den Titel \emph{Pythagorean Triples via Double Angle Formulas} von David Houston vorzufinden. Dort sieht man zwei Zeichnungen rechtwinkliger Dreiecke. In der ersten ist die kurze Seite mit $n$ bezeichnet, die lange mit $m$ und der Winkel zwischen $m$ und der Hypotenuse mit $\theta$. $m$ und $n$ sind ganze Zahlen $m&gt;n&gt;0$ und zwei AusdrÃ¼cke stehen daneben:
\begin{eqnarray*}
\sin \theta &amp; = &amp; \frac{n}{\sqrt{m^2 + n^2}}\\
\\
\cos \theta &amp;  = &amp; \frac{m}{\sqrt{m^2 + n^2}}
\end{eqnarray*}

Das ist mir klar.

Das zweite Dreieck ist auch rechtwinklig, aber seine Seiten wurden so benannt: $2 m n$, $m^2 - n^2$, und $m^2 + n^2$.

Die Seite $2 m n$ liegt vertikal gegenÃ¼ber dem Winkel $2\theta$, der von der anderen Seite und der Hypotenuse gebildet wird. Nun behauptet der Autor Folgendes:
\begin{eqnarray*}
\sin 2\theta &amp;=&amp; \frac{2 m n}{m^2 + n^2}\\
\\
\cos 2\theta &amp;=&amp; \frac{m^2 - n^2}{m^2 + n^2}
\end{eqnarray*}

was aus den Bezeichnungen der Seiten offensichtlich ist.

Alles, was ich tun musste, war $n=1$ zu setzen und probeweise $m=2$, $3$ und $4$ in diesem  zweiten Dreieck, um zum Tripel $8$, $15$, $17$ zu kommen, um zu erkennen, dass $8+15+17=40$ ist. Und weil $40=1000/25$ ist, folgt, dass schon das dritte Tripel multipliziert mit $25$ die LÃ¶sung fÃ¼r Euler 9 darstellt, also $200$, $375$, $425$.

Viele GrÃ¼ÃŸe, Henry\hspace*{\fill}(Ãœbersetzung: M.~Kalus)

\bigskip

\hfil\includegraphics[width=0.9\columnwidth]{2008-03/pyttriplet}




</pre></body></html>